Примеры решений линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Примеры решений линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.

a_oy⁽ⁿ⁾(x)+a₁y^(n-1)(x)+...+a_n-1y'_(x)+a_ny(x)≡0, a_o,a₁,...,a_n-1,a_n - const.

Составляем характеристическое уравнение a_oλⁿ+a₁λ^n-1+...+a_n-1λ+a_n=0.

Находим все его корни.

Общее решение исходного уравнения (y_oo) есть сумма, состоящая из следующих слагаемых. Каждому простому вещественному корню λ отвечает слагаемое Ce^λx. Каждому вещественному корню кратности "k" отвечает слагаемое (C_o+C₁x+C₂x²+ C_k-1x^k-1)e^λx.

Каждой паре простых комплексно-сопряженных корней λ=α±βi отвечает слагаемое b₁e^αxcosβx+b₂e^αxsinβx. Каждой паре сопряженных корней λ=α±βi с кратностью "k" отвечает слагаемое (a_o+a₁x+...+a_k-1x^k-1)e^αxcosβx+(d_o+d₁x+...+d_k-1x^k-1 )e^αxsinβx.

Пример 1:

y'''-8y=0, составляем характеристическое уравнение

λ³-8=0,

λ³- 2³=0,  по формуле сокращенного умножения получаем,

(λ-2)(λ²+2λ+4)=0, откуда корни уравнения

λ₁=2

Возвращаемся к исходным обозначемниям, выражаем у

Пример 2:

y³+8y'''+16y'=0, составляем характеристическое уравнение

λ⁵+8λ³+16λ=0, выносим общий множитель за скобки

λ(λ⁴+8λ²+16)=0, сворачиваем то, что в скобках по формуле сокращенного умножения

λ(λ²+4)²=0, ищем корни

λ₁=0

λ_2,3=±2i (кратность k=2), возвращаемся к исходным обозначениям, выражаем у

y=C₁+(C₂+C₃x)cos2x+(C₄+C₅x)sin2x

Пример 3:

y'''+2y''+y'=0, составляем характеристическое уравнение

λ³+2λ²+λ=0, выносим общий множитель за скобки

λ(λ²+2λ+1)=0, сворачиваем то, что в скобках по формуле окращенного умножения

λ(λ+1)²=0, ищем корни

λ₁=0

λ_2,3=-1 (кратность k=2), возвращаемся к исходным обозначениям, выражаем у.

y=C₁+(C₂+C₃x)e^-x