Примеры решений дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными (и сводящихся к ним)

Примеры решений дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными (и сводящихся к ним)

1.Общий вид y'=f(x)*g(y), х∈ (a,b)

или

m(x)*n(y)dy+p(x)*q(y)dx=0, х∈ (a,b)

Для решения такого уравнения, надо обе части умножить или разделить на такое выражение чтобы в одну часть уравнения входил только х, в другую только y, а затем проинтегрировать обе части.

При этом при делении могут быть потряны решения.

Пример:

y'-xy²=2xy

y'=xy(y+2)

Делим на y(y+2)

При делении на y(y+2) потеряно решение у=0

2) Уравнение вида y'=f(ax+by) приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой z=ax+by или z=ax+by+c где с любая

константа.

Пример.

y'=cos(y-x)

замена z(x)=y(x)-x

y'=z'+1

z'+1=cosz

При делении на (cosz-1) потеряли решение cosz-1=0; z=2πk, k∈ z. y-x= 2πk