Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника - формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника.
DPVA logo
Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Математический справочник / / Геометрические фигуры. Свойства, формулы: периметры, площади, объемы, длины. Треугольники, Прямоугольники и т.д. Градусы в радианы. / / Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д. / / Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника - формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника.
Поделиться:   


  Вы сейчас находитесь в каталоге:
   Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника - формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника.   

Свойства треугольника. Обозначения в треугольнике, Виды треугольников. Формулы площади треугольника.

Основные свойства треугольников, Конгруэнтные (равные) треугольники, Признаки равенства, Равенство прямоугольных треугольников, Подобные треугольники, Признаки подобия, Свойства подобных треугольников, Подобие в прямоугольных треугольниках, Теорема Пифагора, Теорема синусов, Теорема косинусов, Основные линии - Медиана, Биссектриса, Высота треугольника, Срединный перпендикуляр, Средняя линия треугольника, Формулы площади треугольника, в т.ч. формула Герона, Окружности вписанные в треугольники и описанные вокруг треугольников

Меню

Треугольник -это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами.

  • Для инженера это еще и единственная "жесткая" плоская фигура на свете.
  • Раздел математики, посвященный изучению закономерностей треугольников — тригонометрия.
  • Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.

Обозначения в треугольнике.

Стандартные обозначения в треугольнике.

Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).

Виды треугольников:

(по величине углов)

Остроугольный треугольник.Остроугольный треугольник - это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.
Прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник - это треугольник, содержащий прямой угол.

Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).

Тупоугольный треугольник.

Тупоугольный треугольник - это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.

(по числу равных сторон)

(по соотношению сторон)
Равносторонний треугольник. Свойства треугольника.

Равносторонний (правильный) треугольник - это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).

Равнобедренный треугольник. Свойства треугольника.

Равнобедренный тругольник - это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.

Разносторонний треугольник.  Свойства треугольника.

Разносторонний треугольник - это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.

(Разносторонний треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным).

Рассмотрим рис. ниже.

Внешний угол в треугольнике. Свойства треугольника.

Углы α, β, γ нызываются внутренними углами треугольника.

Угол Θ - называется внешним углом треугольника, он равен сумме двух противолежащих ему внутренних углов, т.е. Θ= β+γ

(а+с+b) - периметр треугольника.

Угол α, называется смежным по отношению к углу Θ. ( α+ Θ)=180° (развернутый угол)

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

  1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
  2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
  3. Сумма углов треугольника равна 180 °  (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 °).
  4. Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
  5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
  •  a < b + c,
  •  a > b – c;
  •  b < a + c,
  •  b > a – c;
  •  c < a + b,
  •  c > a – b.

Конгруэнтные треугольники = равные треугольники.

Два треугольника называются конгруэнтными (равными), если они равны по всем параметрам, т.е. три угла и три стороны одного треугольника равны трем углам и трем сторонам другого треугольника.

Признаки равенства треугольников:

Признаки равенства треугольников. Свойства треугольников. 1. Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам).
2. Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними).
3. Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).
4. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:

1. Гипотенуза и острый угол.
2. Катет и противолежащий угол.
3. Катет и прилежащий угол.
4. Два катета.
5. Гипотенуза и катет.

Подобные треугольники.

Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников. Свойства подобных треугольников

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны, т.е.

(р/а)=(q/b)=(r/c).

Признаки подобия треугольников:

  1. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  2. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
  3. Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

  1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия [(р/а)=(q/b)=(r/c)=коэффициент подобия].
  2. Отношение периметров и длин либо биссектрис, либо медиан, либо высот, либо серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

Теорема Пифагора. Подобие в прямоугольных треугольниках.

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

1. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому (Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.) проекций катетов на гипотенузу.

2. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. , т.е. BC2=AB2+AC2 см. рис. выше.

Теоремы синусов и косинусов.

Теорема синусов.

Теорема синусов и косинусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:

Теорема синусов

Теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Теорема косинусов

Основные линии треугольника.

Медиана.

Медиана треугольника. Свойства медиан треугольника.

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника AD, CF, BE пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан треугольника.

  1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
  4. Из двух медиан треугольника большая медиана проведена к его меньшей стороне.

Биссектриса

Биссектриса треугольника. Свойства биссектрисы угла треугольника.

Биссектриса угла треугольника— это луч, который исходит из вершины треугольника, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрисы угла треугольника

  1. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам например, на  рис. выше  AE:CE = AB:BC
  2. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
  3. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Высота треугольника

Высота треугольника. Свойства высот треугольника.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O на рис. выше) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Свойства высот треугольника

  1. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).
  2. Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника подобный ему с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла этих треугольников.
  3. Из двух высот треугольника большая высота проведена к его меньшей стороне.
  4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
  5. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Срединный перпендикуляр

Срединный перпендикуляр треугольника. Свойства срединных перпендикуляров треугольника.

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка(стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС(KO, MO, NO, рис.выше) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC).

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Свойства срединных перпендикуляров треугольника.

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средняя линия

Срединяя линия треугольника. Свойство средней линии треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Формулы площади треугольника

1.Произвольный треугольник - формулы площади

Площадь треугольника. Произвольный треугольник - формулы площади

a, b, c — стороны; α — угол между сторонами a и b; p=(a+b+c) / 2— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a.

  1. S=(1/2)*(a* ha) - площадь треугольника по стороне и высоте.
  2. S=(1/2) *(a*b*sinα) площадь треугольника по двум сторонам и синусу угла между ними
  3. Формула Герона площади треугольника- площадь треугольника по длинам сторон - формула площади Герона
  4. S=p*r - площадь треугольника через периметр и радиус вписанной окружности (площадь описанного треугольника)
  5. S=(a*b*c) / (4R) - площадь треугольника через длины сторон и радиус описанной оружности (площадь вписанного треугольника)

Прямоугольный треугольник - площадь

Площадь прямоугольного треугольника

a, b — катеты; c — гипотенуза; hc — высота, проведенная к стороне c.

1. S=(1/2)*a*b

2. S=(1/2)*c*hc

Равносторонний (правильный) треугольник - площадь

Площадь равностороннего (правильного) треугольника

S=(a2*√3)/4

Примечание - в прямоугольном треугольнике:

Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы в прямоуголном треугольнике

- Синус α - это отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе)

- Косинус α - это отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе)

- Тангенс α - это отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)

- Котангенс α - это отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)