Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с переменными коэффициентами.

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с переменными коэффициентами.

Рассматривается уравнение

a_o(x)y''+a₁(x)y'+a₂(x)y=0, где (a_o(x), a₁(x), a₂(x)) - непрерывные функции на некотором интервале (a,b).

Предположим, что известночастное решение y₁(x)этого уравнения. Чтобы получить общее решение y(x), рекомендуется воспользоваться формулой Острогадского - Лиувилля

,

а это уже уравнение 1го порядка относительно y(x). Далее, деля левую и правую части на y₁²(x) , имеем

После интегрирования получим общее решение исходного уравнения.

Замечание 1.

Общего способа отыскания частного решения y₁(x) линейного уравнения не существует. Иногда удается найти его путем подбора или в виде алгебраического многочлена y₁(x)=xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n или в виде показательной функцииy₁(x)=e^ax или и т.д.

Замечание 2.

Если известно y₁(x), то порядок уравнения можно понизить, сохраняя линейность и следующим способом. В исходное уравнение надо подставить y₁(x)z(x) и затем сделать замену z'(x)=u(x). Но лучше все же пользоваться формулой Острогадского - Лиувилля.