Алгоритм решения линейных систем дифференциальных уравнений третьего порядка.

Алгоритм решения линейных систем дифференциальных уравнений третьего порядка.

Для более глубокого понимания происходящего в этой статье можно ознакомиться с краткой теоретической справкой.

Рассмотрим однородную систему дифференциальных уравнений третьего порядка

Здесь x(t), y(t), z(t) - искомые функции на промежутке (a, b), a_ij (i, j =1, 2, 3) - вещественные числа.

Запишем исходную систему в матричном виде
,
где

Решение исходной системы будем искать в виде
,
где , C₁, C₂, C₃ - произвольные постоянные.

Чтобы найти фундаментальную систему решений, нужно решить так называемое характеристическое уравнение

Это уравнение является алгебраическим уравнением третьего порядка, следовательно оно имеет 3 корня. При этом возможны следующие случаи:

1. Корни (собственные значения) действительны и различны.

2. Среди корней (собственных значений) есть комплексно-сопряженные, пусть
- действительный корень
=

3. Корни (собственные значения) действительны. Один из корней кратный.


Чтобы разобраться, как действовать в каждом из этих случаев, нам понадобятся:
Теорема 1.
Пусть - попарно различные собственные значения матрица А, а - соответствующие им собственные векторы. Тогда

образуют фундаментальную систему решений исходной системы.

Замечание.
Пусть - действительное собственное значение матрица А (действительный корень характеристического уравнения), - соответствующий ему собственный вектор.
= - комплексные собственные значения матрицы А, - соответствующий - собственный вектор. Тогда

(Re - действительная часть, Im - мнимая)
образуют фундаментальную систему решений исходной системы. (Т.е. и = рассматриваются вместе)

Теорема 3.
Пусть - корень характеристического уравнения кратности 2. Тогда исходная система имеет 2 линейно независимых решения вида
,
где , - постоянные вектора. Если же кратности 3, то существует 3 линейно независимых решения вида
.
Векторы находятся подствалением решений (*) и (**) в исходную систему.
Чтобы лучше понять метод нахождения решений вида (*) и (**), смотри разобранные типичные примеры ниже.


Теперь рассмотрим более подробно каждый из вышеописанных случаев.

1. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае различных действительных корней характеристического уравнения.
Дана система

1) Составляем характеристическое уравнение

- действительные и различные собственные значения 9корни этого уравнения).
2)Строим , где
- собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. - любое решение системы

3)Строим , где
- собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. - любое решение системы

4)Строим , где
- собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. - любое решение системы

5)

составляют фундаментальную систему решений. Далее записываем общее решение исходной системы в виде
,
здесь C₁, C₂, C₃ - произвольные постоянные,
,
или в координатном виде

Расмотрим несколько примеров:
Пример 1.

1)Составляем и решаем характеристическое уравнение:

2) Находим

3)Находим

4)Вектор-функции

образуют фундаментальную систему. Общее решение имеет вид

или в координатной записи


Пример 2.

1)Составляем и решаем характеристическое уравнение:

2) Находим

3)Находим

4)Находим

5)Вектор-функции

образуют фундаментальную систему. Общее решение имеет вид

или в координатной записи



2. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения.
1) Составляем и решаем характеристическое уравнение

- действительный корень,

2)Строим , где

- собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е удовлетворяет системе

3) Строим

(т.е. и рассматриваем вместе), где

- собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. удовлетворяет системе

Здесь Re - действительная часть
Im - мнимая часть
4) составляют фундаментальную систему решений. Далее записываем общее решение исходной системы:
, где
С₁, С₂,С₃ произвольные постоянные.

Пример 1.

1) Составляем и решаем характеристическое уравнение

2)Строим

, где удовлетворяет системе

, т.е.

3) Строим
, где

- удовлетворяет системе

, т.е.

Первое уравнение сократим на 2. Затем ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на 2i, а от третьего уравнения отнимем перове, умноженное на 2.

Далее

Следовательно,

4) - фундаментальная система решений. Запишем общее решение исходной системы:


Пример 2.

1) Составляем и решаем харктеристическое уравнение

2)Строим

(т.е. и рассматриваем вместе), где

-собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. любое решение системы

Второе уравнение умножим на (1-i) и сократим на 2.


Следовательно,

3) - фундаментальная система решений.
Общее решение исходной системы

или


2. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае кратных корней характеристического уравнения.
Составляем и решаем характеристическое уравнение

Возможны два случая:

Рассмотрим случай а) 1) , где

- собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е удовлетворяет системе

2) Сошлемся на Теорему 3, из которой следует, что существуют два линейно независимых решения вида
,
где , - постоянные векторы. Их возьмем за .
3) - фундаментальная система решений. Далее записываем общее решение исходной системы:


Рассмотрим случай б):
1) Сошлемся на Теорему 3, из которой следует, что существует три линейно независимых решения вида
,
где , , - постоянные векторы. Их возьмем за .
2) - фундаментальная система решений. Далее записываем общее решение исходной системы.

Чтобы лучше понять как находить решения вида (*), рассмотрим несколько типичных примеров.

Пример 1.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

Имеем случай а)
1) Строим
, где

- любое решение системы

, т.е.

Из второго уравнения вычитаем первое:

? третья строка подобна второй, ее вычеркиваем. Из первого уравнения вычтем второе:

2) = 1 (кратность 2)
Этому корню по Т.3 должно соответствовать два линейно независимых решения вида .
Попробуем найти все линейно незваисимые решения, у которых , т.е. решения вида
.
Такой вектор будет решением тогда и только тогда, когда - собственный вектор, соответствующий =1, т.е.
, или
, вторая и третья строки подобны первой, выкидываем их.

Система свелась к одному уравнению. Следовательно, имеется два свободных неизвестных, например, и . Дадим им сначала значения 1, 0; потом значения 0, 1. Получим такие решения:
.
Следовательно, .
3) - фундаментальная система решений. Осталось записать общее решение исходной системы:
.

Пример 2.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

Имеем случай а).
1) Строим
,

где

, т.е.

За возьмем
.Тогда

2) =-1 (кратности 2).
Этому корню по Т.3 соответствуют два линейно независимых решения вида .
Попробуем найти линейно независимые решения, у которых , т.е. решения вида
Но тогда будет собственным вектором, соответствующим =-1, т.е. , т.е.

Третья строка аналогична второй, отбрасываем ее.

Пусть C₃=1, тогда

=

Итак, корню =-1 соответствует (в отличие от пример 1) один линейно независимый вектор . Любой другой собственный вектор имеет вид . Таким образом существует только одно решение вида . Следовательно,
.

Следующий вектор фундаментальной системы решений будем искать в виде

Чтобы понять, как искать и в этом случае, воспользуемся матричной записью системы:

Подставим X₃ в эту систему:

Сократим на e^-t и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t. Получаем систему

Из первого уравнения и условия следует, что - собственный вектор, отвечающий собственнуму значению , т.е.

[

нашли, когда искали

Х2]

Второе уравнение последней системы запишем так:

Этому матричному уравнению соответствует система линейных уравнений:

Вычеркнем третью строку (она подобна второй). Система совместна (имеет решение) при любом с. Пусть с=1.

Выпишем какое-нибудь частное решение последней системы.
a₃=0, a₂=-1, a₁=1 т.е.

Тогда

3) - фундаментальная система решений. Выпишем общее решение исходной системы:

или